Calculus
函数性质
单调性
设函数
若在
注意:若
极值
第一充分条件(非必要)
设函数
若
若
若在点
第二充分条件(非必要)
设函数
当
当
定理1
若函数
当
当
凸性
设函数
若对于
定理1
设函数
定理2
函数
若在
- 拐点
是指曲线 在点 的左右两侧凸性相反的点
渐近线
先考虑水平渐近线和铅直渐近线
定理1
若以下极限存在
间断点
若
在点 无定义 在点 有定义但极限 不存在 在点 有定义且极限 存在,但
第一类间断点
- 可去间断点:
- 跳跃间断点:
第二类间断点
- 无穷间断点:
- 振荡间断点:对于
, 即是振荡间断点
连续函数的局部性质
- 局部有界性
- 局部保号性
- 四则运算法则
- 反函数连续性
闭区间上连续函数的性质
- 最大值最小值定理
- 有界性定理
- 零点定理
- 介质定理
概念剖析
连续
某点连续
若
则可推出
不可推出

某邻域连续
若
则可推出
不可推出

某去心邻域连续
若
则可推出
不可推出

可导
某点可导
若
则可推出
不可推出

某邻域可导
若
则可推出
不可推出

某去心邻域可导
若
则可推出
不可推出

二阶可导
某点二阶可导

某邻域二阶可导

某去心邻域二阶可导

导数
若
又其中在
故极限定义时不考虑
极限只要求在
极限求解
等价无穷小
泰勒公式
洛必达法则
仅适用于未定式,并且要求上下函数极限存在
定积分
适用于连加或连乘的形式,一般具有如下特征
- 分子是0次或是1次的
- 分母都是2次的
- 分母次数比分子多一
变上限积分
使用洛必达法则
求导
反函数求导
可导性讨论
对于复合函数来说,若内外函数有一个不可导或都不可导,则复合函数不一定可导
比如说都不可导
隐函数求导
或者使用微分
对数求导法
参数方程求导
高阶导数
莱布尼茨公式:适用于求两个函数相乘,其中一个函数在高阶导数时为0
或是使用泰勒公式化开
反函数高阶导数
微分
函数
微分是函数增量的线性主部
定理1:对于一元函数来说可微和可导是等价的,对于多元函数来说,可微是可导的充分非必要条件
微分中值定理
费马定理
设函数
罗尔中值定理
设函数
拉格朗日中值定理
设函数
另一种表达形式,有限增量公式:
柯西中值定理
设函数
泰勒中值定理
函数
所谓的佩亚诺型余项就是将
麦克劳林公式是指
积分
基本积分表
技巧
第一类换元积分法(拼凑)
第二类换元积分法(简化根式)
分部积分法(微分简化)
分部积分法的精髓在于合理利用一次微分将表达式简化,一个部分被还原为原函数,一个部分变为导函数
二次积分表
有理函数积分
对于其他分式化为有理分式后再积分
可有理化函数的积分
使用万能公式将三角函数有理式变为有理函数,再进行积分
或是分母有理化
欧拉公式在简化三角函数乘积积分中的应用
欧拉代换
形如
第一替代
第二替代
第三替代
奥斯特罗格拉茨基方法
其中若
定积分
若
满足下列条件的函数在
- 在
上连续 - 在
上有界并且只有有限个间断点 - 在
上单调有界
虽然在区间内有有限个间断点但是不满足有界:
虽然有界但是不单调:
线性性质
比如
区间可加性
积分中值定理 f, g ∈ C[a, b], ∀x ∈ [a, b], g(x) ≤ 0 or g(x) ≥ 0, ⇒ ∃ξ ∈ (a, b), ∫abf(x)g(x)dx = f(ξ)∫abg(x)dx 注意条件是
微积分基本定理
若
若
定积分的可积与不定积分的可积不是一个概念
有原函数不一定黎曼可积
- 若
在 上可积,则 在 上连续 - 若
在 上连续,则 在 上可导,且 ,即 是 在 上的一个原函数
分段函数:分段相加
换元积分法
若
参考





